图8 与自然数配对的偶数和平方数
希尔伯特旅馆
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862——1943）是他那个年代最杰出的德国数学家。一家十分奇特的旅馆总是与他的名字联系在一起，它生动地体现了无限集合的奇妙性质。这家旅馆的主要特点是它有无穷多房间，用1，2，3，…来编号，还夸下海口，希尔伯特旅馆（Hilbert Hotel）总是有空房。
一天晚上，这家旅馆却客满了，也就是说每一间房里都住了一位客人。令前台服务员沮丧的是，又一个客人出现了，并要住一间房。幸好经理出手了，他把服务员拉到一边，教他如何处理这种情况，这才避免了尴尬的局面。“让1号房的客人搬到2号房，”他说，“2号房的搬到3号，以此类推。换句话说，我们通知整个旅馆，要求n号房的客人换到n＋1号房中，这样1号房就可以空出来给这位客人了！”
因此你看，希尔伯特旅馆的确总是有空间的。但是到底有多大空间呢？
第二天晚上，服务员面临着一个类似但更加考验人的情形。这一次，一艘载着1729名乘客的太空飞船抵达了，所有人都闹着要在已经客满的旅馆中各自住进一间房。不过前台服务员从前一晚吸取了经验，知道怎样推广之前的方法来应付这个额外的旅行团。他让1号房的人去1730号房，2号房的换到1731号房，如此这般。他发出了通知，要求n号房的客人搬进 n＋1729号房间。这就让1～1729号房都空了出来，给新来的人入住。我们的服务员为自己独立处理了昨晚问题的新版本感到骄傲——他这么想也是完全合理的。